映射錐

給定一個鏈複形之間的映射，映射錐是一個全新的單一複形，它把該映射連同其源與靶一併打包，使得錐的同調能報告該映射有多好。這一概念借自拓撲——在那裡，把一個映射錐化即在像上黏一個錐——代數版本把問題「此映射在同調上是否同構？」轉化為問題「這一個複形是否無環？」。

對鏈映射 f : A -> B，映射錐 Cone(f) 是這樣的複形：Cone(f)_n = A_{n-1} ⊕ B_n，配以微分 d(a, b) = (-d_A a, f(a) + d_B b)。利用 A 與 B 中的 d^2 = 0 以及 f 是鏈映射，可驗證 d^2 = 0。存在複形的短正合序列 0 -> B -> Cone(f) -> A[-1] -> 0，其中 A[-1] 是 A 在次數上的移位，而其同調長正合序列的連接映射恰為 H_*(f)。

回報十分乾淨：由於那條長正合序列的連接同態由 f 誘導，錐無環（所有同調為零），當且僅當 f 在所有同調上誘導同構——也就是當且僅當 f 是擬同構。於是映射錐把兩個複形的比較轉化為單一的消失條件，它正是三角範疇與導出範疇背後的代數引擎，在那裡生成出可辨三角形。