楔（外）積

楔積 v ^ w 把兩個向量結合成一個反對稱對象，用以度量它們所張平行四邊形的有向面積。它的唯一定律是反對稱性：v ^ w = -(w ^ v)。令 w = v 便強制出 v ^ v = 0，這是說退化平行四邊形（兩邊相等）面積為零——一個你早已在幾何上相信的事實。

更一般地，k 個向量的楔積 v1 ^ v2 ^ ... ^ vk 是它們所張平行多面體的有向 k 維體積。交換任意兩個因子翻轉符號，重複任意因子則使整個東西歸零。所以線性相關性可由楔積探測：向量相關，當且僅當它們的楔積為零。

在座標中，楔積收集那些反對稱的組合。例如在 R^3 中，把 (a ^ b) 按基 e_i ^ e_j 讀出，便給出叉積 a x b 的各分量。而對一個 n 階系統，v1 ^ ... ^ vn 等於矩陣的 det 乘以體積形式 e1 ^ ... ^ en——楔積正是行列式誕生之處。

請當心：楔積是分次交換的，而非交換的。一個 p 次形式 alpha 與一個 q 次形式 beta 滿足 alpha ^ beta = (-1)^(p*q) * (beta ^ alpha)。兩個 1 形式反交換（(-1)^1 的情形），但一個 2 形式可以越過另一個 2 形式交換。追蹤這些符號，是處理微分形式的日常功課。