外冪

第 k 個外冪 Lambda^k V 是反對稱 k 張量的空間——所有楔積 v1 ^ ... ^ vk 的張成。其元素稱為 k 向量，它們編碼有向的 k 維內容：Lambda^1 V 是 V（方向），Lambda^2 V 是有向平面元，Lambda^3 V 是有向體積元，依此類推。

其維數是二項式係數：當 dim V = n 時，dim Lambda^k V = (n choose k)。一組基由楔積 e_{i1} ^ ... ^ e_{ik} 給出，取遍嚴格遞增的指標集 i1 < ... < ik，於是你在數 n 元基的 k 元子集。這就是為何當 k 從 0 跑到 n 時，外冪先增後減。

頂層外冪 Lambda^n V 很特殊：它是一維的，因為唯一長度為 n 的嚴格遞增指標集就是整組基。線性映射 T : V -> V 在這條線上誘導出映射 Lambda^n T，它不過是乘以一個純量，而這個純量恰好就是 det T。所以行列式並非公式上的偶然；它就是 T 在一維頂層外冪上的作用。

更一般地，Lambda^k T 作用在 Lambda^k V 上，在一組基下其矩陣元就是 T 的 k 階子式。這把整族子式打包起來，而 Lambda^k T 的特徵值是 T 的 k 個不同特徵值之積——這是通往諸如「det 是特徵值之積」以及特徵多項式各係數等事實的最乾淨路徑。