外代數

外代數 Lambda(V) 是反對稱張量的家園，配備一種稱為楔積的乘法。你從張量代數出發，強加一條規則來構造它：對每個向量 v 都有 v ^ v = 0。這一條規則就強制出反對稱性 v ^ w = -(w ^ v)，於是交換兩個因子就翻轉符號。

作為向量空間它分裂為分次的塊：Lambda(V) = Lambda^0 (+) Lambda^1 (+) ... (+) Lambda^n，其中 Lambda^0 是純量，Lambda^1 是 V 本身，而 Lambda^k 由 k 個向量的楔積張成。對 n 維的 V，各維數是二項式係數 n choose k，整個代數的維數為 2^n。超過次數 n 時一切為零，因為多於 n 個向量的楔積必然重複某個基向量。

這是有向體積與行列式的天然代數。頂層塊 Lambda^n V 是一維的，而一個線性映射在其上的作用就是乘以它的行列式；這是 det 最乾淨、最不依賴基的定義。微積分中的微分形式恰是餘切空間外冪的截面，所以斯托克斯定理與叉積都安居於此。

從概念上說，外代數是多重線性代數的反對稱那一半；對稱代數則是它的鏡像。對稱張量徹底遺忘次序（給出多項式），而外張量只通過一個符號記住次序（給出定向）。把這兩幅圖並置，正是看清行列式與多項式何以是兄弟的關鍵。