對稱代數

對稱代數 Sym(V) 是外代數的鏡像：你不是強制反對稱，而是強制交換。你從張量代數出發，對所有向量強加 v*w = w*v，於是因子的次序不再要緊。其分次塊 Sym^k V 由完全對稱的 k 張量組成——即在置換各因子下不變的乘積。

它的妙處是一個你早已認識、只是改了裝的等同：Sym(V) 典範地就是 V 的座標多項式代數。若 V 有基 x_1, ..., x_n，則 Sym(V) 是 x_1, ..., x_n 上的多項式環，而 Sym^k V 是 k 次齊次多項式的空間。所以「k 次對稱張量」與「k 次齊次多項式」是同一個對象。

維數遵循多重集計數：dim Sym^k V = (n + k - 1 choose k)，即 n 個變數中 k 次單項式的個數。把它與外冪 (n choose k) 對照：隨著 k 增大，對稱張量無界地持續增長，因為你可以自由重複變數；而楔積在超過次數 n 後便消亡，因為重複是被禁止的。

把這兩個代數並置能澄清許多事。反對稱（外）張量編碼有向體積、行列式與形式；對稱張量編碼多項式、二次型與矩。一般的張量冪（在特徵零下）分解為對稱部分、反對稱部分外加更奇異的塊——這正是對稱群表示論的起點。