張量與多重線性代數
多重線性映射
多重線性映射接受若干個向量作為輸入，且在固定其他變數時對每個槽位分別線性。兩個槽位時它是雙線性映射 B(v, w)；k 個槽位時它是 k 重線性：在每個位置上都有 B(..., a*x + b*y, ...) = a*B(..., x, ...) + b*B(..., y, ...)。固定除一個以外的全部參數，你便得到一個普通線性映射；這就是其定義性特徵。
例子俯拾皆是。內積 <u, v> 是雙線性的（在實數上）。行列式對 n 階矩陣的各行是 n 重線性的。叉積是雙線性的。雙線性型是輸出為純量的多重線性映射；多重線性映射也可輸出向量，如代數中的乘法。
決定性的事實是：多重線性映射在乘積空間上並不線性。B(v, w) 對配對 (v, w) 整體而言不線性：B(2v, 2w) = 4*B(v, w)，而非 2*B(v, w)。所以照原樣無法用普通線性代數的機器處理它們——這恰是張量積被發明出來要修正的問題。
於是有了那句要旨：張量是多重線性映射的萬有接收者。V1 x ... x Vk 上的每個 k 重線性映射都唯一地經由 V1 (x) ... (x) Vk 上的單個線性映射分解。所以「多重線性」與「張量」是同一思想的兩種視角——同一台機器的輸入面與線性化面。
det([c1 | c2 | ... | cn]) is n-linear: det(..., a*x + b*y, ...) = a*det(..., x, ...) + b*det(..., y, ...)
行列式是各行上多重線性（且交錯）映射的原型。
留意「在乘積上多重線性」與「在直和上線性」之別：直和 V (+) W 上的線性映射 L 滿足 L(2v, 2w) = 2*L(v, w)，而雙線性 B 把輸入當作乘積一起放縮，給出 B(2v, 2w) = 4*B(v, w)。參數相同，規則卻截然不同。
又稱
另見