張量積的萬有性質

萬有性質才是張量積真正的定義。暫且忘掉你如何用記號搭出 V (x) W；真正把它釘死的，是它對每一個雙線性映射同時表現出的方式。所需資料是一個空間 T，連同一個固定的雙線性映射 t : V x W -> T，記作 t(v, w) = v (x) w。

性質如下。對任意向量空間 U 與任意雙線性映射 B : V x W -> U，存在唯一一個線性映射 L : T -> U，使得對所有 v、w 有 B(v, w) = L(v (x) w)。用圖來說，B 分解為 B = L 複合 t。「唯一」二字承擔了全部分量：存在性說明 T 足夠大，能記錄每個雙線性映射；唯一性說明 T 除雙線性所強制者之外別無多餘的雜質。

這一句話就使張量積在唯一同構意義下唯一。若兩個空間 T 與 T' 都滿足該性質，萬有映射會在它們之間產生互逆的線性映射，於是 V (x) W 的任意兩種誠實構造都典範地相同。這正是數學家即便有許多搭建方式、仍說「那個」張量積的原因。

為何如此行事？萬有性質是一種行為規範：它告訴你這個對象「做什麼」，而非它「由什麼構成」。於是證明關於 (x) 的事實就歸結為定義一個雙線性映射並援引該性質，這比與基纏鬥乾淨得多。這種「以萬有性質定義」的風格，在外代數與對稱代數中反覆出現。