集合上的自由向量空間

給定任意集合 S——字母、動物、點，無論什麼——域 F 上的自由向量空間 F(S) 是 S 的元素的形式有限線性組合構成的空間。一個典型元素形如 3*cat - 2*dog + 7*fish：符號 cat、dog、fish 被當作獨立的基向量，係數來自 F。你正在製造一個向量空間，其基按構造恰是你起初的那個集合 S。

具體地，F(S) 是除有限多個點外處處為零的函數 S -> F 構成的空間；S 中的元素 s 對應那個在 s 處為 1、別處為 0 的函數。加法與縮放是逐點的。集合 S 作為一組基坐落於 F(S) 之內，故 dim F(S) 是 S 的基數——你以最經濟的方式把一個赤裸的集合化為向量空間，除公理強制者外沒有在元素間添加任何關係。

深刻的刻畫是萬有性質，它正是「自由」的真義。從 S 到任意向量空間 W 的任何函數，都唯一地延拓為一個線性映射 F(S) -> W。換言之：要定義一個從自由空間出發的線性映射，你只需說出基元素（原始符號）去往何處，完全自由——沒有需遵守的約束。自由空間是由 S 生成的最高效的向量空間，除線性外不施加任何關係。

為何要這樣造一個空間？因為它讓你能線性化任何集合。路徑的形式和構建拓撲中的鏈群；基態的形式和構建量子態空間；群元素的形式和構建群代數。每當你想對尚非向量的對象「取線性組合」，自由向量空間就是賦予它們這種能力的典範機器——而萬有性質保證你沒有添加任何多餘之物。