勒貝格微分定理

若你在一點周圍取越來越小的球上對一個可積函數求平均,這些平均值會趨向該點的函數值——在幾乎每個點處。這就如同微積分基本定理從累積的積分還原被積函數那樣從積分還原函數,只是如今針對的是勒貝格理論所接納的粗糙的、僅僅可積的函數,而不只是連續函數。

確切地說,對 R^n 上的局部可積函數 f,對幾乎每個 x,f 在球 B(x, r) 上的平均,即 (1 除以球的測度) 乘以 f 在 B(x, r) 上的積分,當 r 趨於 0 時收斂到 f(x)。更強的勒貝格點版本斷言:|f(y) - f(x)| 在球上的平均在幾乎每個 x 處也趨於 0——這樣的 x 稱為勒貝格點。

這是微積分基本定理向勒貝格框架的深刻推廣;對連續 f 它不過是連續性,但定理在完全沒有連續性時也成立。幾乎每個一語至關重要:它可能在一個零測集上失效,事實上對一個集合的指示函數,它恰好在測度論意義下的邊界上失效。其證明依賴於哈代–利特爾伍德極大不等式。