積分的絕對連續性

一個可積函數無法把它的大部分質量藏在很小的地方。積分的絕對連續性把這一點量化:若你只在測度足夠小的集合上積分,其貢獻必定很小——而且是一致地小,無論那小集合位於何處。把定義域壓縮到幾近於無,其上的積分也隨之趨於零。

確切地說,若 f 可積,則對每個 epsilon 大於 0,存在 delta 大於 0,使得對每個滿足 μ(E) 小於 delta 的可測集 E,|f| 在 E 上的積分小於 epsilon。要點在於對 E 的一致性:同一個 delta 對所有小集合同時奏效,僅由它們的測度控制。這正是絕對連續(關於該測度)一語的依據。

此性質對非可積函數失效,且是若干結果背後的分析引擎:不定積分,即 x 映到 f 在 [a, x] 上的積分,是 x 的絕對連續函數;而集函數 E 映到 f 在 E 上的積分,是一個絕對連續測度。它是拉東–尼科迪姆關係在積分一側的投影。