在可測集上的積分

你常常只想要 f 在空間某一部分上的面積——比如在區域 E 而非全空間上。勒貝格的乾淨技巧是把 f 乘以 E 的指示函數,這個開關在 E 上為 1、在 E 外為 0,然後在全空間上積分。E 之外被積函數為零,毫無貢獻;E 之內它就是 f。所以限制不過是乘以一個開關。

確切地說,對可測集 E 與使之有意義的函數 f,f 在 E 上的積分定義為 f 乘以 E 的指示函數在全空間上的積分。等價地,可對 f 在 E 上的限制關於限制在 E 上的測度積分。把 E 映到 f 在 E 上積分的集函數是可數可加的:把 E 分成互不相交的可測塊,積分就分裂成相應的和。

這種打包使許多操作毫不費力:在互不相交集合之並上的積分相加;在嵌套收縮集合上的積分連續地變化;而積分的絕對連續性恰恰說這個集函數在小測度集合上很小。它也是把固定 f 的積分本身視為一個(帶符號)測度的橋樑。