拉蓋爾方程
/ Laguerre: lah-GAIR /
氫原子的徑向部分——電子波函數如何依賴於到原子核的距離——在提出一個指數衰減因子後，歸約為一個命名方程。拉蓋爾方程（Laguerre's equation）就是那個方程：其多項式解塑造了每個原子軌道徑向結構的方程。
其基本形式為 x y'' + (1 - x) y' + lambda y = 0，定義在半軸 x >= 0 上，原點 x = 0 處有正則奇點（無窮遠處有非正則奇點）。用級數求解得到一步遞推；要求解在無窮遠處增長不太快，迫使 lambda 取非負整數 n，級數截斷成拉蓋爾多項式 L_n(x)。氫原子實際需要的是締合拉蓋爾方程 x y'' + (alpha + 1 - x) y' + lambda y = 0，其多項式解 L_n^{alpha}(x) 帶有一個與角動量相關的附加參數 alpha。
這裡的截斷條件正是把主量子數、進而把氫的能級 E_n 正比於 -1/n^2 量子化的東西——里德伯公式正是從「要求徑向級數終止」中落下來的。拉蓋爾多項式的自然權函數是 [0, infinity) 上的 e^{-x}，這正是它們與束縛電子的指數尾部配合得如此之好的原因。它們也出現在極座標下的量子振子中，以及在對以 e^{-x} 為權的積分作高斯-拉蓋爾數值積分中。
對 lambda = 2，方程 x y'' + (1 - x) y' + 2 y = 0 截斷為 L_2(x) = (x^2 - 4x + 2)/2。這樣的多項式乘以 e^{-x/2} 和 x 的某個冪，便構成了徑向波函數，其節點正是你在原子殼層中所見的。
拉蓋爾多項式提供了氫軌道的徑向節點。
L_n、尤其是締合 L_n^{alpha} 的歸一化約定在數學與物理教材間不同（有的含 n! 因子）。把氫波函數與某張表對照時，務必確認約定，否則你的歸一化常數會出錯。