合流超幾何方程
超幾何方程有三個正則奇點；許多物理方程只有兩個有趣的，因為第三個已跑到無窮遠並與另一個合併。合流超幾何方程（confluent hypergeometric equation）就是當你讓超幾何方程的兩個奇點相撞合併時所得的——「合流」字面意思就是匯流到一起。它是支配量子力學束縛態問題的精簡表親。
它是 x y'' + (c - x) y' - a y = 0，也稱庫默爾方程，只有兩個參數 a、c。它在 x = 0 處有正則奇點，而在無窮遠處現在有一個非正則奇點（合併的遺留）。它在原點處的弗羅貝尼烏斯解是合流超幾何函數 1F1(a; c; x) = sum_k [(a)_k / (c)_k] x^k / k!，常寫作 M(a, c, x)。與 2F1 不同，這個級數對所有 x 都收斂，因為壞奇點已被推到無窮遠。當參數 a 為非正整數時，級數終止為多項式——而這正是埃爾米特與拉蓋爾多項式作為特例重新出現的方式。
這一個方程就是量子束縛態的脊梁。氫原子的徑向方程與諧振子在分離出各自的漸近指數行為後都歸約為庫默爾方程；要求 1F1 終止（使波函數保持可歸一化）正是把能量量子化的東西。誤差函數、不完全伽馬函數、庫侖波函數全都是偽裝的 1F1。所以合流超幾何方程是若干看似不同的特殊函數之下共同的發動機艙。
取 a = 1、c = 2，級數 1F1(1; 2; x) = sum x^k/(k+1)! = (e^x - 1)/x。取 a = -n（負整數）則截斷：1F1(-n; 1/2; x^2) 在縮放意義下重現埃爾米特多項式。同一模板視參數 a 而定，給出光滑的超越函數或一個多項式。
參數 a 決定 1F1 是無窮超越函數還是一個終止的多項式。
有兩個標準解：庫默爾的 M(a, c, x) 在原點正則，特里科米的 U(a, c, x) 抓住無窮遠處的正確行為。物理問題通常需要在一端有限、在另一端衰減的線性組合——只用 M 可能給出不可歸一化的答案。