克羅內克積

克羅內克積是兩個線性映射的張量積在選定基、把一切寫成矩陣後所呈現的樣子。它通過把一個矩陣的縮放副本蓋印到另一個矩陣的每個元素位置上，造出一個大的分塊矩陣——這是一個本屬抽象的構造的具體、可計算的面貌。

給定 m × n 矩陣 A 與 p × q 矩陣 B，它們的克羅內克積 A ⊗ B 是 mp × nq 的分塊矩陣，其 (i, j) 塊為 a_ij·B。若在所選基下 A 表示線性映射 S: V -> V'、B 表示 T: W -> W'，則在誘導的張量積基 {e_i ⊗ f_k} 下，A ⊗ B 表示張量積映射 S ⊗ T: V ⊗ W -> V' ⊗ W'。故克羅內克積恰是張量積映射的矩陣。

它服從乾淨的代數法則：只要乘積有定義就有 (A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD)，(A ⊗ B)^T = A^T ⊗ B^T，對方陣 A（n × n）與 B（p × p）有 det(A ⊗ B) = det(A)^p · det(B)^m，trace(A ⊗ B) = trace(A)·trace(B)，且 A ⊗ B 的特徵值是特徵值之積 λ_i μ_j 的全體。它還經由 vec 算子把矩陣方程 AXB = C 線性化：vec(AXB) = (B^T ⊗ A) vec(X)。