聯合生存與最後生存狀態（joint-life and last-survivor statuses）

到目前為止，每一筆給付都只取決於一個人。但許多真實的承諾同時繫於兩條（或更多）生命——夫妻的退休金、遺屬給付、家庭保單。兩條生命可以用兩種相反的方式定義一個有「生死」的狀態。聯合生存狀態只在兩人都還活著時存續；一旦其中先死的那個去世，它就終止。最後生存狀態只要還有至少一人在世就存續；只有當最後一人去世時它才終止。一份在配偶中先去世者身故時即停的聯合年金，用的是聯合生存狀態；一份持續支付到兩人都去世為止的遺屬年金，用的是最後生存狀態。

一旦你能算出某狀態仍「存活」的機率，先前的全套機理——保險、年金、純生存保險——便可原樣照搬，只需用狀態替換單一生命。兩種狀態由一個簡單且極其有用的恆等式相連：聯合生存的值（或機率）加上最後生存的值，等於兩個單一生命值之和。用文字說，聯合加最後生存等於個體一加個體二。所以若你知道每人的年金和聯合生存年金，最後生存年金就是 ä_x + ä_y - ä_{xy}。例如，兩份單一生命年金分別值 12 和 14，聯合生存年金值 10，則最後生存年金為 12 + 14 - 10 = 16——它付得最久，所以最貴。

這些狀態對退休金和夫妻類產品至關重要，那裡遺屬給付是常態。最大的誠實提醒是「獨立性」：這些乾淨的公式假設兩條生命彼此獨立地死亡，但現實中夫妻的壽命是相關的——共享的環境、生活方式，以及有據可查的「心碎效應」，即一方去世會抬高另一方的死亡率。把相關的生命當作獨立處理會使估值產生偏差，通常會讓聯合年金看起來更便宜、最後生存給付看起來比真實更貴。