蓋希格林圓盤定理

精確計算特徵值代價高昂，但蓋希格林定理幾乎免費地把它們定位，只需讀取矩陣元素。圍繞每個對角元 a_{ii} 在複平面上畫一個圓盤，其半徑是該列其餘元素絕對值之和 R_i = sum_{j != i} |a_{ij}|。每個特徵值都落在這些圓盤的聯集之內。

理由簡短而愉快。若 A x = lambda x 且 x 中模最大的分量是 x_i，那麼把第 i 個方程除以 x_i 並孤立出來得到 |lambda - a_{ii}| <= sum_{j != i} |a_{ij}| |x_j / x_i| <= R_i。於是 lambda 被困在第 i 個圓盤裡。由於 A^T 有相同的特徵值，你也可以用行和並取交集得到更緊的牢籠。

一個加強版細化了計數：若一組 k 個圓盤與其餘圓盤不相交，則恰有 k 個特徵值（含重數）落在該組內。所以分離的圓盤各自恰好容納一個特徵值，這正是你如何證明一個矩陣在原點沒有特徵值因而可逆的方法。

它是定位工具，不是精度工具。對強對角佔優矩陣，圓盤很小，估計極佳；對有大的非對角元的矩陣，圓盤可能合併成一團無用的斑塊。用它做快速保證，再用真正的求解器細化。