DFT 作為基變換

離散傅立葉變換聽起來很分析，但其核心不過是一次基變換。它把一個信號從標準基（每個時間取樣一個座標）改寫到傅立葉基（每個純頻率一個座標）。還是同一個向量，只是新座標揭示了信號含有多少各種振盪。

具體地，DFT 是乘以一個矩陣 F，其元素是單位根：F_jk = exp(-2 pi i j k / n)。按 1/sqrt(n) 縮放後該矩陣是酉的，F^* F = I，故變換是複空間中的一次旋轉：它保持長度（帕塞瓦爾定理），並可由其共軛轉置平凡地求逆。F 的行是傅立葉基向量，是相互正交的純頻率。

下面是把它與特徵理論相繫的妙處：傅立葉基同時對角化每一個循環矩陣（每列都是上一列循環移位的矩陣，即卷積的矩陣形式）。換言之，傅立葉向量是所有平移不變運算的共同特徵向量，這正是卷積在頻域裡變成簡單乘法的原因。

為何重要：單憑這一事實就驅動了快速濾波、音訊與影像壓縮，以及微分方程的譜方法，而這一切都因 FFT 而切實可行——它以 n log n 而非 n^2 的時間計算 F x。警示：DFT 假定信號週期，故突兀的邊沿會讓能量跨頻率洩漏（頻譜洩漏），通常用加窗來馴服。