愛因斯坦求和約定（Einstein summation convention）
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物理裡到處都是長得一模一樣的求和：點積 u 點 v 等於 u1 v1 + u2 v2 + u3 v3，矩陣乘向量 A x 的分量是對 k 求和的 A(i,k) 乘 x(k)，而一旦進入四維與彎曲空間，這類求和便層出不窮。反覆書寫求和號既煩瑣又把頁面塞滿。愛因斯坦的約定是一條簡單卻極其高效的記帳規則，讓你幾乎能省去每一個求和號。
規則如下：只要某個指標在同一項中恰好出現兩次——一次作上指標（上標）、一次作下指標（下標）——就自動對該指標在其整個取值範圍內求和，無需寫出求和號。於是 a^i b_i 就表示 a^1 b_1 + a^2 b_2 + ... + a^n b_n。這個重複的指標稱為啞指標或求和指標，它的名字無關緊要：a^i b_i 與 a^k b_k 是同一個數。只出現一次的指標是自由指標，它必須在方程兩邊一一對應，並標明你指的是哪個分量。該約定還強制一種紀律：合法表達式中同一個指標絕不出現三次，且求和的一對應當是一上一下——這靜悄悄地提醒你，正在把逆變對象與協變對象配對。
這不只是簡寫，它是張量微積分、廣義相對論、連續介質力學與現代微分幾何的工作語言。正因為規則把上指標與下指標配成對，它產生的求和恰恰是那些具有幾何意義、與坐標無關的組合（縮併），這就是為什麼愛因斯坦記號讓正確的方程容易寫出、讓許多錯誤的方程根本無法寫出。唯一要守住的紀律是對上下保持誠實：在平直笛卡爾坐標中人們偷懶，把一切都寫在下方，但在彎曲空間或非正交坐標中，上下之分是真實的，必須尊重。
在度規為 g 的空間中，向量長度的平方寫作 ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j。i 和 j 都重複出現（各自一次出現在 dx 的上方、一次在 g 的下方），所以這個簡短表達式暗中表示對 i 與 j 的雙重求和，即對所有座標對取 g_{ij} dx^i dx^j 之和——在三維中這是九項被壓縮進四個符號。
兩對重複指標，兩個隱藏的求和——約定把九項變成四個符號。
若某個重複指標本不打算求和，必須顯式標註（人們會寫「i 不求和」）；而某指標在同一項中正當地出現三次，則是你算錯了的信號，而非某種新的求和。