狄利克雷單位定理

在普通整數中，唯一具有仍為整數的乘法逆元的數只有 +1 與 -1——一個微小乏味的單位群。在一般的整數環中，單位可以豐富得多：可能有無窮多個，就像佩爾方程的基本解，你可把它升到任意次冪。狄利克雷定理用數域的形狀精確給出它有多豐富。

設 K 是數域，有 r_1 個實嵌入與 r_2 對複嵌入，故 [K : Q] = r_1 + 2 r_2。定理斷言 O_K 的單位群同構於（K 中單位根構成的有限循環群）乘以 Z^{r_1 + r_2 - 1}。換言之：模去單位根後，單位構成秩為 r = r_1 + r_2 - 1 的自由阿貝爾群。

證明把單位經由其對數嵌入到 R^{r_1 + r_2} 中的一個超平面裡，並證明其像是一個滿秩格——單位群在撓之外就是一個格。該格的餘體積即調節子，一個度量單位「密度」的實數，它與類數一道出現在解析類數公式中。