迪尼定理

通常逐點收斂太弱，不足以一致——但若你用足夠好的結構去配牌，逐點收斂便能免費升級為一致。迪尼定理指出了這樣一個乾淨的情形：緊集上一列單調的連續函數，逐點收斂到一個連續的極限。在這四個條件下，收斂自動是一致的。

定理：設 K 緊，f_n 在 K 上連續，設 f_n 逐點收斂到 f 且 f 連續，並設序列在每一點處關於 n 單調（要麼對每個 x，f_n(x) 遞增趨於 f(x)，要麼遞減趨於它）。則 f_n 在 K 上一致收斂到 f。等價地，「誤差」函數 g_n = |f_n - f| 逐點單調遞減到 0，而在緊集上，逐點趨於 0 的遞減連續函數序列必一致趨於 0。

每一個假設都確實不可少。去掉緊性，[0,1) 上的 x^n 逐點遞減到 0 卻不一致。去掉極限的連續性，[0,1] 上的 x^n 單調而極限不連續，仍不一致。去掉單調性，平移凸包之類的例子便失效。證明用開覆蓋論證：對每個 epsilon，使 g_n < epsilon 成立的集最終覆蓋 K，由緊性抽取出一個處處奏效的有限階段。