仿射子空間

仿射子空間是一個被平移離開原點的子空間。取一個真正的子空間 U，把它按固定向量 p 平移，得到集合 A = p + U = {p + u : u 屬於 U}。不過原點的直線與平面是日常的例子。仿射子空間擁有子空間一切平直、平行的形狀，卻放棄了含 0 的要求——它恰是 U 的一個陪集的幾何視角。

其界定性的代數性質是對仿射組合而非線性組合封閉：若 x 與 y 在 A 中，則對每個純量 t，t*x + (1-t)*y 也在 A 中（更一般地，任何係數之和為 1 的組合皆然）。「係數之和為 1」這一約束讓你留在平面塊上而不把它錨定於原點。去掉該約束你便回到普通子空間；把 t 收緊到落在 [0, 1] 你便得到一個凸集——仿射概念恰處於二者之間。

標誌性的現身是非齊次線性方程組 A*x = b 的解集。當 b 非零時此集合不是子空間（它漏掉 0），但它確是一個仿射子空間：x_p + null(A)，一個特解加上齊次核。這正是為何每個相容線性方程組的解集都呈被平移的核之形的結構性緣由——一個與 null(A) 平行、被任一特解偏移的平面塊。

乾淨的要點是這份分工：子空間關乎過原點的方向，仿射子空間關乎空間中任意位置的定位平面塊。「方向子空間」U 可由 A 唯一恢復為差集 A - A = {x - y : x, y 屬於 A}，但偏移 p 只在相差一個 U 中向量的意義下被確定。仿射幾何正是當你保留線性結構卻忘記原點在哪裡時所得到的。