連續、離散與每年 m 次的精算函數（continuous vs discrete vs mthly）

同一筆給付可以有不同的支付時點，而時點會改變其價值。身故給付可能在身故所在保單年度的年末支付（離散情形），也可能在身故的確切瞬間支付（連續情形）。退休金可能一年付一次，也可能分成十二次月付（每年 m 次情形）。精算師把這三者分開，是因為真實產品按月支付或在身故時支付，而不是齊整地一年發一大筆，而這些差異雖小，落在一大本業務上就會累積起來。

記號標明時點。樸素的離散年度函數是 A_x（在身故年末支付的保險）或 ä_x（一年付一次、預付的年金）。上方加一橫表示連續：Ā_x 是在身故瞬間支付的保險，ā_x 是連續支付、如平滑水流般的年金。小上標 (m) 表示一年支付 m 次：ä_x^{(m)} 是把每年 1 拆成 m 次支付的年金。各種關係都很直觀：在身故瞬間（而非等到年末）支付身故給付要稍微值錢一些，因為你早一點拿到錢，所以 Ā_x 略大於 A_x——大約相差一個 i / δ 的因子（利率比上利息力）。月付年金略小於年初預付的年金，因為平均而言你每年的錢拿得稍晚。標準近似式（如所謂的「α-β」公式）能在它們之間換算，而無需從頭重新求和。

把頻率搞對很要緊，因為這是真金白銀。年金通常按月支付，所以若按年度定價會高估其價值；身故給付實際上在身故後不久就支付，更接近連續而非年末。誠實地說，連續函數是一種數學理想化——沒有人真的按連續水流領錢——但它便於運算，也是對頻繁支付的良好近似。常見錯誤是在一次計算中混用頻率，比如把保費按年度估值、卻把給付按連續估值而不作調整；一致性，或一個有意且記錄在案的調整，是必不可少的。