分類空間（classifying space）
假設你想一勞永逸地列出任何空間上可能出現的每一個秩 n 叢——而且不是一個空間一個空間地做，而是用單一個主物件來做。分類空間就是那個主物件。它是一個空間，記作 BG（對結構群 G）或對實、複向量叢記作 BO(n)、BU(n)，它攜帶一個萬有叢，並具有奇妙的性質：任何地方的任何叢都是萬有叢的拉回，且在同倫意義下唯一。
精確地說：對拓樸群 G 存在一個空間 BG 與一個萬有主 G 叢 EG -> BG，其中 EG 可縮。分類定理說：對仿緊的 X，X 上主 G 叢的同構類與同倫類集 [X, BG] 之間有自然的一一對應，此對應把映射 f 送到拉回 f^*(EG)。對秩 n 實向量叢取 G = O(n) 與 BO(n)；對複向量叢取 U(n) 與 BU(n)。要穩定地分類任意秩的所有叢，則取極限 BO = colim BO(n) 與 BU = colim BU(n)。具體上 BU(n) 可實現為 C 中 n 維平面的無窮複格拉斯曼流形，而一個映射 X -> BU(n) 字面上就是一條連續規則，把每個 x in X 指派到 C-infinity 中的一個 n 維平面，這正是在為一個叢命名其纖維。
回報是：一個幾何問題（存在哪些叢？）化為一個同倫問題（映入 BG 的映射有哪些？），而示性類不過是住在 BG 上的固定上同調類的拉回。因此 H^*(BG) 是所有示性類的共同居所：H^*(BU(n)) 是陳類上的多項式環，H^*(BO(n); Z/2) 是史蒂弗-惠特尼類上的多項式環。一個常見的困惑是以為 BG 作為空間是唯一的；它只在同倫等價意義下唯一，不同的模型（米爾諾的連接構造、bar 構造、格拉斯曼流形）都能擔此任。
X 上的複線叢（秩 1）由 [X, BU(1)] 分類。這裡 BU(1) 是無窮複射影空間 CP-infinity，它也是一個埃倫伯格-麥克萊恩空間 K(Z, 2)。因此 X 上的線叢恰對應於 H^2(X; Z)，此對應即第一陳類 c_1。在同倫意義下，一個線叢不多不少就是一個二次整係數上同調類。
BU(1) = CP-infinity = K(Z,2)：線叢透過第一陳類即 H^2 類。
BG 只在同倫等價意義下定義——並沒有唯一的「那個」分類空間，只有彼此同倫一致的模型。此外分類需要 X 仿緊；對一般空間，[X,BG] 與叢之間的對應可能失效。