叢的拉回（pullback bundle）
假設某人在空間 Y 上架好了一個向量叢 E，而你手上有一個映射 f: X -> Y，把你自己的空間送進他們的空間。你想把他們的叢拖回來，使它住在 X 上。拉回叢 f^*E 正是做這件事：在 X 的每一點 x 上，你就裝上 E 原本擺在像點 f(x) 上的那根纖維。沒有發明新的幾何——你重用了 Y 的纖維，只是按 f 把你的點送到哪裡重新編了索引。
具體地說，f^*E = { (x, e) in X times E : f(x) = pi(e) }，即「X 中一點」與「其像之上纖維中一向量」配成的對，投影為 (x, e) -> x。這是 X 與 E 在 Y 之上的纖維積，而 f^*E 在 x 上的纖維典範地等於纖維 E_{f(x)}；存在一個覆蓋 f 的自然叢映射 f^*E -> E，它在每根纖維上是線性同構。若你用 Y 上的轉移函數 g_ij 描述 E，則 f^*E 在 X 上由合成 g_ij 與 f 來描述——把同一份黏合資料透過映射讀出來。
關於拉回最重要的一件事是同倫不變性：若兩個映射 f_0, f_1: X -> Y 同倫，且 X 是仿緊的（例如流形或 CW 複形），則 f_0^*E 與 f_1^*E 是同構的叢。因此由拉回得到的 X 上的叢，只依賴於所用映射的同倫類。這正是整套分類方案背後的技術引擎——這正是為什麼 X 上的叢對應於映入分類空間的同倫類，而其中所拉回的是萬有叢。
設 M 為視為圓上線叢的開莫比烏斯帶，其中心圓的包含映射為 i: S^1 -> M 的底。沿二重覆疊 S^1 -> S^1，z -> z^2 把此叢拉回會把它解扭：兩次變號合成後不變號，故拉回叢是平凡圓柱。這與同倫不變性相容，因為在相關意義下 z -> z^2 並不（透過尊重叢結構的映射）同倫於恆等映射。
沿映射拉回一個叢可以把它解扭或再扭；只有映射的同倫類才重要。
拉回的同倫不變性需要底空間夠好（仿緊／具備單位分解）。對病態底空間它會失效，且其證明確實用到單位分解，在各平凡化之間做插值。