拓樸向量叢（topological vector bundle）
想像你站在一個空間的每一點上，都被遞給一個小小的向量空間——一個平面、一條直線、或某個 R^n——你可以在裡面做加法與縮放。拓樸向量叢正是如此：一族連續變化的向量空間，底空間 X 的每一點上各放一個，並且黏合得使鄰近的纖維平順地並排在一起。在一小塊上，這族看起來像個無趣的乘積（那一塊乘以 R^n），但當你在 X 上漫遊時，這些 R^n 的副本在重新黏合前可能先被扭轉，因此整體 E 可以比 X times R^n 更有趣。
形式上，一個秩為 n 的實（或複）向量叢是一個連續滿射 pi: E -> X，並在每根纖維 E_x = pi^{-1}(x) 上配以實（或複）向量空間結構，且滿足局部平凡性：每個 x 都有一個鄰域 U 與同胚 phi: pi^{-1}(U) -> U times R^n，它與投影相容，且在每根纖維上是線性同構。當兩個這樣的圖卡重疊時，把一個纖維標架重新黏到另一個的方式，是一個取值於 GL(n) 的連續映射，即轉移函數，它們編碼了所有的扭轉。被忽略卻關鍵的字是「拓樸」：我們只要求連續性，不要求可微性，所以底空間可以是任何合理的拓樸空間，而不必是流形。
這些叢是整個領域的原料。流形的切叢是引發動機的例子，但在一般底空間上，重點在於分類：X 上存在哪些叢，兩個叢何時同構？由於一切都由取值於 GL(n) 的黏合資料在同倫意義下建立，答案結果竟是純粹同倫論的——X 上的叢由 X 映入單一萬有空間的同倫類所分類。一個常見的混淆是把拓樸範疇與光滑範疇混為一談：拓樸叢未必帶有光滑結構，而光滑同構比拓樸同構更細，不過在流形上這兩個分類問題恰好一致。
在圓 S^1 上恰有兩個實線叢（秩 1）：平凡的 S^1 times R，一個普通的圓柱；以及非平凡的開莫比烏斯帶，繞一圈後纖維變號。它們取值於 GL(1) = 非零實數 的轉移函數落在 +1 與 -1 兩個分支，而這單一的正負號就是全部的拓樸內容。
S^1 上的兩個線叢，純由黏合保持或反轉定向來區分。
拓樸範疇與光滑範疇是不同的：並非每個拓樸叢都容許相容的光滑結構，即使容許，光滑分類原則上也可能更細——不過對於光滑流形上的向量叢，這兩種同構觀念是一致的。