無窮格拉斯曼流形（infinite Grassmannian）
/ GRASS-muh-nee-un /
有限格拉斯曼流形 Gr(k, n) 是位於 R^n 內所有 k 維子空間（過原點的平面）的空間：它的一個點字面上就是一個 k 維平直平面。無窮格拉斯曼流形是讓環繞維數趨於無窮所得：Gr(k, infinity) = colim_n Gr(k, n)，即無窮維 R-infinity（複情形為 C-infinity）中所有 k 維平面的空間。它寬敞到足以容納你可能需要的每一個 k 維平面。
格拉斯曼流形上坐落著一個重言叢（tautological bundle），它是可想像中最誠實的叢：在代表 k 維平面 P 的那一點上，纖維就是 P 自己。這個重言叢即萬有叢，因此無窮格拉斯曼流形是分類空間的一個具體模型——Gr(n, C-infinity) 實現 BU(n)，實版本實現 BO(n)。要分類秩 n 叢，你把 X 映入 Gr(n, infinity)：在每點 x 上，指出你的叢在該處纖維所對應的 n 維平面（先用單位分解把纖維嵌入一個公共大空間），再把重言叢拉回就還原出你的叢。
這使分類定理在精神上變得幾何而幾乎重言：一個叢就是在每點上選一個平面的方式，而格拉斯曼流形正是平面的萬有空間。它的上同調由舒伯特胞腔計算，給出 H^*(Gr(n,C-inf)) = Z[c_1,...,c_n]，以陳類為生成元——所以格拉斯曼流形同時是叢被分類之處與示性類誕生之處。需注意的是維數記帳：你必須讓環繞空間是無窮維的，因為固定的有限 R^N 只能在某個秩／維數上限內嵌入叢，而萬有性質需要全部。
C-infinity 中一維子空間（直線）的空間是 Gr(1, C-infinity) = CP-infinity，即無窮複射影空間。它的重言線叢是萬有複線叢，沿映射 X -> CP-infinity 把它拉回就給出 X 上的每一個複線叢。這與分類空間圖像中的 BU(1) = CP-infinity 是同一陳述，現在看成格拉斯曼流形。
CP-infinity 既是直線的無窮格拉斯曼流形，也是分類空間 BU(1)。
環繞維數必須是無窮的：在有限的 Gr(n, N) 上，秩夠低的每個叢都能被捕捉，但嚴格的萬有性質——不設維數上限地涵蓋每個叢——需要取極限。初學者有時試用固定有限的 N，結果丟失了高胞腔維數的叢。