換底公式

大多數計算器只有兩個對數鍵：常用對數（底 10）和自然對數（底 e）。那要怎麼算其他底的對數，比如以 3 為底 20 的對數？換底公式就是這座橋梁：它把任意對數改寫成你的計算器認識的某個底下兩個對數之比。

公式是 log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)，其中 c 是你選定的任意新底（常用 10 或 e）。分子取那個數的對數，分母取原底數的對數，二者都在新底下，再相除。人們最常把它寫成 log_b(x) = ln(x) / ln(b) 或 log(x) / log(b)。

值得了解它為何成立：若 y = log_b(x)，則 b^y = x；對兩邊取以 c 為底的對數得 y · log_c(b) = log_c(x)，相除即可分離出 y。一個實用的體會是：換底只是把每個值乘以一個固定常數——不同底的對數互為按比例縮放的副本，形狀從不改變。