柯西乘積

若把兩個有限和相乘，你會收集所有交叉乘積再加起來。柯西乘積正是對兩個無窮級數做同樣事情的自然方式：你聚集所有乘積 a_i b_j，並按 i + j 為常數的對角線把它們組織起來，這恰如多項式（或冪級數）的係數相乘。

給定兩個級數 sum a_n 與 sum b_n，其柯西乘積是級數 sum c_n，其中 c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + ... + a_n b_0 = sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}。人們希望：若 sum a_n = A 且 sum b_n = B，則 sum c_n = AB。正是這條法則使冪級數的逐項相乘合法，因為 sum a_n x^n 與 sum b_n x^n 的柯西乘積產生 sum c_n x^n。

誠實的假設很要緊。梅爾滕斯定理保證 sum c_n = AB，只要兩個級數都收斂且至少一個絕對收斂。若兩者都僅條件收斂，柯西乘積可能根本不收斂——一個經典反例取 a_n = b_n = (-1)^n / sqrt(n+1)。當兩個因子都絕對收斂時，乘積絕對收斂到 AB，毫無附加條件。