支割線

某些自然的函數,如平方根或對數,在複平面中確實是多值的:單個輸入 z 有若干個同樣合法的輸出,因為 z 的輻角只在相差 2pi 的整數倍意義下確定。支割線是你從平面中割出並禁止自己跨越的一條曲線,正是為了讓剩下的部分有單一、自洽、連續的取值選擇。它是一道有意為之的傷疤,把多值函數馴服為單值函數。

具體地,要定義對數的一個分支 log z = ln|z| + i arg(z),必須把 arg(z) 釘在一個確定的區間上,比如 (-pi, pi],這就迫使沿負實軸出現間斷,那裡輻角從略小於 pi 跳到略大於 -pi。去掉那條射線——支割線——便留下一個單連通區域,log 的單值全純分支在其上存在。割線的端點(此處為原點)是分支點,一個不可避免的奇點,多值性真正繞著它循環。

割線的放置是自由選擇——你可以讓它從分支點沿任意曲線通向無窮(或在兩個分支點之間)——但某條割線是被迫的,因為在環繞分支點的環上不可能存在單值連續分支。跨越割線會使值跳變一個固定量(對 log 而言為 2pi i)。徹底去掉割線的誠實辦法是過渡到黎曼曲面,函數在其上真正變成單值且全純,代價是生活在一個多葉空間而非平面上。