死亡年齡隨機變量

想像一個剛出生的嬰兒。我們無法預先知道他能活多久——也許夭折，也許活到一百零三歲。精算師用機率來處理這種不確定性：把最終的死亡年齡看作一個目前未知、但可以用機率去推理的數。這個未知的數就是死亡年齡隨機變量，通常記作 X。它是所有人壽保險與退休金計算最基本的構件。

由於 X 是隨機的，我們不是用單一數值、而是用各種可能性的機率來描述它：新生兒在 1 歲前死亡、50 歲前死亡、90 歲前死亡等等的機率。X 是一個連續的、非負的隨機變量。它的累積分布函數 F(x) 給出在 x 歲之前死亡的機率，密度函數 f(x) 則描述死亡的可能性如何分布在各個年齡上。例如，若 F(70) = 0.4，則新生兒活不到正好 70 歲的機率是 40%。

生存模型裡幾乎一切都是 X 的另一種表達。生存函數不過是 1 減 F(x)；死亡力由 f(x) 與生存函數構成；生命表則把整個假想群體的 X 列成表格。把壽命當作隨機變量來處理——而不是猜一個單一的「預期壽命」數字——正是精算師得以公平定價、並提取恰當準備金的根本。