韋伊-彼得森度量
/ VYE PEH-ter-son /
泰希米勒空間是曲面所能採取的雙曲形狀之空間，而如同任何形狀空間，它呼喚「兩個形狀相距多遠」與「哪些形變方向大或小」的概念。韋伊-彼得森度量是一個自然的答案：泰希米勒空間上的一個黎曼度量，藉著對照曲面自身的雙曲幾何來量度形變而建成。它是使模空間表現得像一個有限體積負曲率對象的度量，也支撐曲線模空間上大量的分析。
精確地說，T(S) 在點 X 的切向量是複結構的無窮小形變，由調和貝爾特拉米微分 mu 表示（對偶地由全純二次微分 q，即 X 餘切叢平方的一個切片表示）。兩個這樣的二次微分 q_1, q_2 的韋伊-彼得森內積，是 q_1 乘 q_2 的共軛、除以雙曲面積形式，在 X 上的積分：在 X 上積分 (q_1 conj(q_2)) / (rho^2)，其中 rho^2 為雙曲度量。此配對為埃爾米特的，並在 T(S) 上定義一個凱勒度量——在映射類群下不變，故下降到模空間 M(S)。
它的幾何豐富而影響深遠：韋伊-彼得森度量有「負」截面曲率（不離零有界，也不恆定）、測地凸，但「不完備」——測地線可在有限長度內跑出邊緣，恰在曲面藉把測地線捏到零長度而退化之處。沃爾珀特證明 WP 凱勒形式在芬切爾-尼爾森座標下等於 (1/2) 乘 d(l_i) ^ d(tau_i) 之和，故長度與扭轉辛地共軛。此度量在模空間上的有限總體積（由沃爾珀特與米爾札哈尼經優美遞迴算出）支撐曲線模空間上的交截數公式，把雙曲幾何繫於代數幾何乃至二維引力。
在虧格 2 模空間上，沿一條韋伊-彼得森測地線朝三條褲子曲線之一收縮的邊界前進：l_1 -> 0。到那個退化曲面的 WP 距離是「有限」的（度量不完備），儘管雙曲曲面本身變成一個有節曲面（一條被捏的曲線），在泰希米勒度量中卻無限遠。這種有限性正是給 M(S) 有限韋伊-彼得森體積之物，即米爾札哈尼藉對褲子分解遞迴算出的量。
WP 不完備性：捏一條曲線（l_1 -> 0）位於有限韋伊-彼得森距離，給模空間有限 WP 體積。
韋伊-彼得森度量不完備，其曲率為負但「不」被某負常數上界、也不被下界——切勿把它當成常曲率甚至夾曲率空間。它也不同於泰希米勒度量（一個芬斯勒、非黎曼的度量，那才是完備的）；二者不同，不應混淆。