曲線模空間（moduli space of curves）
我們看到所有虧格 g 的曲面在拓樸上相同，卻構成一整族不等價的黎曼曲面。曲線模空間正是這樣一個幾何對象，其「點」就是這些同構類：每個虧格 g 的黎曼曲面（差一個雙全純）對應一個點。不再一次只研究一個曲面，你一次研究它們全體所成的空間——它的維數、形狀，以及曲面在其邊界處如何退化。
精確地說，M_g 表示虧格 g 的光滑緊黎曼曲面（等價地 C 上的光滑射影曲線）的模空間，其中兩個曲面給出同一點，恰當它們雙全純。對 g >= 2 它是一個連通的複空間（事實上是擬射影簇，但帶有來自具自同構曲線的溫和軌形奇異性），複維數為 3g - 3。低虧格是特殊的：M_0 是單一個點（每個虧格 0 曲面都是球面），M_1 是一維的，由 j 不變量參數化（帶標記點的虧格 1 曲線，j 值的複平面）。邊界——曲線在那裡產生節點並捏合——被加入以構成德利涅-芒福德緊化 M_g-bar，其研究整理了曲線族如何退化。
為何重要：模空間是分類問題所居之處，也是現代代數幾何、拓樸、甚至物理交會之處。其維數 3g - 3（指定一個虧格 g 曲面所需的複參數數目）是一個基本的計數；其上同調與交截理論（芒福德類、由孔采維奇證明的維滕猜想）連結到弦論與可積系統。誠實提醒有數點。M_g 是「粗」模空間，並有軌形／疊結構，因為某些曲線有自同構；乾淨的對象是模「疊」。它「不」緊（曲線可退化），這就是為何要過渡到德利涅-芒福德緊化。且這與泰希米勒空間不同，後者是 M_g 經由標記剛化所得的單連通覆疊；M_g 是泰希米勒空間對映射類群的商，而那個確實獨立的主題屬於幾何結構與泰希米勒理論，不在此處。
對虧格 1，模空間 M_1 由單一個數參數化，即 j 不變量：兩個橢圓曲線 C/L 與 C/L' 同構，恰當 j(L) = j(L')，而 j 取遍整個 C。所以所有環面的族——看似無窮——被一個複座標所整理；對橢圓曲線（帶標記點）給出符合預期的 1 維圖像。
每個橢圓曲線由其 j 不變量釘定；M_1 是 j 直線，一個複參數。
M_g 是「粗」（軌形／疊）模空間——自同構造成奇異性，且它非緊，故須用德利涅-芒福德緊化。它「不是」泰希米勒空間：M_g 是泰希米勒空間對映射類群的商，屬於另一個主題。