雅可比簇（Jacobian variety）
/ yah-KOH-bee-an /
附於每個緊黎曼曲面的，是第二個非常不同的幾何對象：不是彎曲的曲線，而是一個平坦、光滑、更高維、且帶有群法則的環面。這就是雅可比簇。它把曲面所有零次數除子類打包成一個帶幾何的、融貫的阿貝爾群，並且是阿貝爾-雅可比映射所居住的家。曲線剛硬而複雜之處，它的雅可比簇卻柔順而線性。
精確地說，對虧格 g 的緊黎曼曲面 X，雅可比簇是複環面 J(X) = C^g / Lambda，其中 C^g 是全純 1 形式空間（g 維）的對偶，Lambda 是週期格——把一組 1 形式的基沿 H_1(X, Z) 的一組基積分所得的秩 2g 的格。作為實流形它是 2g 維環面；作為複流形它是 g 維複環面；而關鍵在於它是「阿貝爾簇」：它是射影的（經由西塔函數嵌入射影空間），其群運算全純。自然同構 J(X) = Pic^0(X) 把它與線性等價下的零次數除子類群等同。
為何重要：雅可比簇把曲線線性化。阿貝爾定理把它與零次數除子類等同；阿貝爾-雅可比映射把曲線嵌入其中；黎曼西塔函數住在其上，而其零點軌跡（西塔除子）重建曲線（托雷利定理：帶主極化的雅可比簇決定 X）。它是阿貝爾簇的原型，也是曲線與阿貝爾簇及西塔函數理論的交會點。誠實提醒：「並非」每個 g 維複環面都是某曲線的雅可比簇——曲線的雅可比簇在所有主極化阿貝爾簇的模空間中構成一個特殊（肖特基）軌跡，而刻畫哪些環面是雅可比簇（肖特基問題）是困難的。另外，「複環面」根本不必是射影的；雅可比簇之特殊正在於其週期格滿足黎曼雙線性關係，使它成為阿貝爾簇。
對橢圓曲線（g = 1），雅可比簇就是曲線本身：J(X) = C/L，一個 1 維複環面，而等同 J(X) = Pic^0(X)「就是」橢圓群法則。對虧格 2 曲線，雅可比簇是 2 維阿貝爾簇（4 實維環面），曲線經由阿貝爾-雅可比作為一條真正的曲線嵌入其中——其西塔除子。
對 g = 1 雅可比簇就是橢圓曲線本身；對 g = 2 它是含該曲線的 2 維阿貝爾簇。
並非每個 g 維複環面都是雅可比簇，甚至並非每個主極化阿貝爾簇都是——雅可比簇構成肖特基軌跡，判定哪些環面是雅可比簇是未解的肖特基問題。雅可比簇是阿貝爾（射影）的，僅因其週期滿足黎曼關係。