阿貝爾-雅可比映射（Abel-Jacobi map）
/ AH-bel yah-KOH-bee /
正虧格的黎曼曲面是一個彎曲、滿是洞、沒有明顯群結構的東西。阿貝爾-雅可比映射完成了一個小小的奇蹟：它把曲面映入一個平坦的環面——雅可比簇——以一種把幾何線性化的方式，將「哪些除子線性等價」這個糾纏的問題變成一個群裡的簡單加法。它是從曲線通往其「線性影子」的橋樑。
精確地說，在虧格 g 的緊曲面 X 上固定一個基點 p_0，並取全純 1 形式的一組基 omega_1, ..., omega_g。阿貝爾-雅可比映射把點 p 送到積分向量 u(p) = (integral from p_0 to p of omega_1, ..., integral from p_0 to p of omega_g)，取值於雅可比簇 J(X) = C^g / Lambda，其中 Lambda 是把 omega_i 沿一組基迴圈積分所生成的週期格。對 Lambda 取商正是使答案不依賴積分路徑之所在（不同路徑相差一個迴圈，即相差一個格向量）。此映射對除子加法地延拓：零次數除子 D = sum n_p [p] 送到 J(X) 中的 sum n_p u(p)。
為何重要：它把除子問題轉成群論。阿貝爾定理說一個零次數除子是主除子（即線性等價於 0），「當且僅當」其阿貝爾-雅可比像在雅可比簇中為 0——所以雅可比簇恰好衡量「同次數蘊含線性等價」的失敗。雅可比反演定理說從 g 重對稱積到雅可比簇的映射是滿射，故 J(X) 的每個點都被某個 g 次有效除子命中。二者一起把 Pic^0(X) 作為群與 J(X) 等同。誠實提醒：此映射依賴選取（基點 p_0 使它平移、形式的基改變座標），但其在零次數除子「類」上誘導的映射是典範的。對 g = 1，阿貝爾-雅可比映射是曲面到它自己雅可比簇的同構，這就是橢圓曲線的群法則；對 g >= 2，像是坐落於更高維環面中的一條曲線，「不是」整個環面。
對橢圓曲線（g = 1）只有一個全純形式 dz，阿貝爾-雅可比映射 p -> integral of dz from p_0 to p 就是環面 C/L 與它自己雅可比簇的等同。阿貝爾定理於是成為橢圓群法則：三點 p, q, r 在群中和為零，恰當 [p] + [q] + [r] - 3[p_0] 是主除子，即當它們是與一條直線的三個交點時。
對 g = 1，阿貝爾-雅可比映射把曲線與其雅可比簇等同——而阿貝爾定理即橢圓群法則。
點映射依賴基點與形式的基，但其在零次數除子「類」上誘導的映射是典範的（即 Pic^0 -> J）。對 g >= 2，像是 g 維雅可比簇中的一條曲線，並非整個環面；唯有 g = 1 時是滿射。