除子（divisor）

亞純函數與微分把它們的資料攜帶在零點與極點裡：它們在「何處」為零或爆掉，以及「有多強」。除子正是記錄這點的簡單記帳工具——一份有限的點的清單，每個點標上一個整數（零點為正、極點為負，整數標明階）。它把「這個函數在此處 3 階為零、在那處有二階極點」變成一個你能加減的乾淨代數對象。

精確地說，黎曼曲面 X 上的除子是點的形式有限整係數組合：D = sum of n_p [p]，其中每個 n_p 是整數，且只有有限多個非零。除子構成自由阿貝爾群（你只需逐點把係數相加）。其次數是諸係數之和，deg(D) = sum of n_p——一個整數。兩個關鍵來源：任何亞純函數 f 給出其主除子 div(f) = sum over p of ord_p(f) [p]（零點減極點）；在緊曲面上 deg(div(f)) = 0 恆成立，因為零點與極點相抵。所有 n_p >= 0 的除子稱為有效（記作 D >= 0）；它記錄一組帶重數的點，沒有任何負值。

為何重要：除子是整個黎曼-羅赫思想圈的語言。每個除子 D 定義一個亞純函數的向量空間 L(D)，其極點被 D 所界（且可以更多地為零），黎曼-羅赫計算它的維數。相差一個主除子的除子線性等價並定義相同的幾何；此關係下的除子類構成皮卡群，其零次數部分即雅可比簇。誠實要點：除子只是「形式」資料——一個有限的帶標籤點集——它本身並不是函數。技巧在於追問哪些除子真的能作為 div(f) 或某截面的零點出現，而這正是阿貝爾定理與黎曼-羅赫所回答的。