典範除子（canonical divisor）

函數並非曲面上唯一的亞純對象；亞純「微分」——像 f(z) dz 那樣的東西——也有零點與極點。值得注意的事實是：雖然一個曲面有許多這樣的微分，但任何一個的「除子」在差一個無害調整下都是被確定的。那個特出的除子類，內蘊於曲面本身，就是典範除子——曲面與生俱來的簽名。

精確地說，在緊黎曼曲面 X 上取任一非零亞純 1 形式 omega。局部上 omega = f(z) dz，其除子 div(omega) = sum over p of ord_p(omega) [p] 有良好定義：在全純座標變換下 dz 帶一個不為零的因子變換，故諸階不動。任兩個非零亞純 1 形式相差一個亞純函數（其比值是函數），故它們的除子「線性等價」。那單一個線性等價類就是典範除子 K（或典範類 K_X）。其次數由拓樸強制：deg(K) = 2g - 2，g 為虧格。於是球面上 deg K = -2、環面上 deg K = 0（一個無零點無極點的全純 1 形式，如 dz）、而 g >= 2 時 deg K = 2g - 2 > 0。

為何重要：K 是黎曼-羅赫各處看不見的配重，其對稱形式把 L(D) 與 L(K - D) 配對。全純 1 形式空間的維數等於 g，而這些對應於典範類中的有效除子。由全純 1 形式的基所建造的典範「映射」，把每條虧格 >= 3 的非超橢圓曲線嵌入射影空間，把抽象曲面實現為明確的代數曲線。誠實要點：K 是一個「類」，僅在差一個線性等價下被定義——不存在單一的典範除子，只有典範類，要指名一個具體代表需選取一個微分。另外，次數公式 deg K = 2g - 2 是解析對象（微分）與拓樸不變量（虧格）之間的精確聯繫。