黎曼-羅赫定理（Riemann-Roch theorem）
/ REE-mahn ROKK /
這裡是整個學科核心的計數問題：給定一份極點的預算——「此處你最多可有 2 階極點、那處可有單極點」——有多少亞純函數塞得進這份預算？你預期答案會隨著你允許更多極點而成長，但在有洞的曲面上卻有神秘的障礙。黎曼-羅赫定理正是計算這個空間維數的精確公式，附帶一個恰好衡量障礙的修正項。
精確地說，設 X 是虧格 g 的緊黎曼曲面，D 為其上一個除子。令 L(D) 為滿足 div(f) + D >= 0（極點不超過 D 所允許，零點隨意）的亞純函數 f 所成的向量空間，記 l(D) = dim L(D)。令 K 為典範除子。則 l(D) - l(K - D) = deg(D) - g + 1。項 l(D) 是你要的；修正項 l(K - D)（在 D 處按階為零的全純微分之維數，即「特殊指標」）是障礙。當 deg(D) > 2g - 2 時，修正 l(K - D) 為零，把黎曼不等式變為等式：l(D) = deg(D) - g + 1。兩個驗算立刻得出：D = 0 給出 l(0) = 1（只有常數）、l(K) = g（有 g 個全純微分）；D = K 給出 deg K = 2g - 2。
為何重要：黎曼-羅赫是把「抽象曲面」變成「具體射影曲線」的計算核心。它告訴你何時一個除子有足夠的函數來定義通往射影空間的映射，從而證明曲線可嵌入；它強制虧格等於全純 1 形式的維數；它導出韋爾斯特拉斯間隙結構；並向上推廣為希策布魯赫-黎曼-羅赫與阿蒂亞-辛格。誠實要點：有「許多」黎曼-羅赫定理（曲線、曲面、希策布魯赫、格羅滕迪克、指標定理）；這是原始的「曲線」版本。乾淨形式 l(D) = deg D - g + 1 只在特殊項消失時成立（例如 deg D > 2g - 2 或 deg D < 0）；在中間範圍你確實需要兩項。且 l(D) 只依賴 D 的線性等價類，而非特定代表。
在球面上（g = 0，K 次數為 -2）取 D = n[infinity]（n >= 0）。則 deg D = n > -2 = 2g - 2，故 l(K - D) = 0、l(D) = n - 0 + 1 = n + 1。確實 L(n[infinity]) 由 1, z, z^2, ..., z^n 張成——次數至多 n 的多項式，恰有 n + 1 個。黎曼-羅赫無需任何代數就重現這個計數。
球面上 l(n[infinity]) = n + 1 計數次數 <= n 的多項式——特殊項為零的黎曼-羅赫。
黎曼-羅赫定理有許多個；這是曲線版本。簡單公式 l(D) = deg D - g + 1 只在特殊項 l(K - D) 消失時成立（例如 deg D > 2g - 2）；在中間範圍你必須保留兩項，且 l(D) 只依賴 D 的線性等價類。