韋爾斯特拉斯間隙（Weierstrass gap）
/ VY-er-shtrahss /
固定緊曲面上單一個點 p，問：對哪些 n，存在一個亞純函數，在 p 處恰好有 n 階極點、其餘各處皆無？在球面上每個 n >= 0 都可以（z^n 在無窮遠處有 n 階極點）。但在有洞的曲面上，某些階是被禁止的——不存在在那一個點處恰好有那個階極點的函數。那些被禁的階就是韋爾斯特拉斯間隙，它們揭示附於每個點的隱藏結構。
精確地說，對虧格 g 的緊黎曼曲面上一點 p，考慮除子 n[p] 與隨 n 從 0 增大時的維數 l(n[p])。每一步 n -> n+1 要嘛使 l 保持不變（沒有「新」的、極點階恰為 n+1 的函數——一個間隙），要嘛使它增加一（出現新函數——非間隙或極點數）。韋爾斯特拉斯間隙定理說恰好有 g 個間隙，且全都落在 n = 1, 2, ..., 2g - 1 之中。對一般點，間隙是前 g 個正整數 1, 2, ..., g（「預期」的間隙序列）。間隙序列偏離此一般序列的點即韋爾斯特拉斯點。計算上：由黎曼-羅赫，l(n[p]) - l((n-1)[p]) 跳變當且僅當 l(K - n[p]) 下降，即當且僅當存在一個在 p 處恰好 n - 1 階為零的全純微分——故間隙可由全純 1 形式在 p 處的為零階讀出。
為何重要：間隙編碼一個點有多「特殊」，並把局部極點結構與整體虧格相繫（恆為恰好 g 個間隙）。非間隙構成一個數值半群，引出韋爾斯特拉斯點的豐富理論，這些點數目有限且內蘊地被區分——一個附於曲面的典範有限集，用於研究自同構與模。誠實提醒：「韋爾斯特拉斯點」有兩個相關意涵——有時指任意點，由其完整間隙序列描述；有時專指序列「非」一般的點。在球面（g = 0）上根本沒有間隙、也沒有韋爾斯特拉斯點；此現象確實是關於正虧格的。而間隙定理是逐點套用黎曼-羅赫的直接推論，並非獨立的奇蹟。
在虧格 2 曲線上恰有 g = 2 個間隙。在一般點間隙是 {1, 2}、非間隙從 3, 4, 5, ... 開始；但在六個韋爾斯特拉斯點（超橢圓覆疊的分歧點）上，間隙序列是 {1, 3}：確實存在一個有二階極點的函數（超橢圓的 x），這在一般點是不可能的——非間隙中那個例外的 2 正是把該點標記為韋爾斯特拉斯點之處。
虧格 2 一般點：間隙 {1,2}；韋爾斯特拉斯點：間隙 {1,3}——恰在該處存在一個 2 次函數。
恆有恰好 g 個間隙（黎曼-羅赫的推論，並非魔法），落在 1..2g-1 之間。當心「韋爾斯特拉斯點」的雙重用法：有時指任意帶間隙資料的點，有時專指間隙序列「非」一般的點。虧格 0 根本沒有間隙。