分歧覆疊（branched cover）

普通的覆疊映射就像在底空間上方堆疊的若干相同的葉片——下方每個點上方都有完全相同數目的點，局部上覆疊看起來就是幾份不相交的拷貝。分歧覆疊幾乎如此，但允許某些特殊點，葉片在那裡被「捏」在一起，就像平方映射 z -> z^2 把平面繞自身兩圈、卻在原點處把一切黏合那樣。分歧點正是完美葉數瞬間坍縮之處。

精確地說，緊黎曼曲面之間的非常數全純映射 f: X -> Y 自動是分歧覆疊。在有限個分歧點之外，它是某固定次數 d 的真正覆疊：每個正則值 y 恰有 d 個原像，d 即 f 的次數。在特殊點處，局部圖像為 z -> z^e，e = e_p >= 1 是原像點 p 處的分歧指數；映射在那裡把 e_p 個葉片繞在一起。e_p > 1 的點是分歧點（分歧上方），其像是分歧點（分歧下方）。在任何一個值上，諸原像的分歧指數總和恆為 d：sum over f(p) = y of e_p = d。實際求 e_p 的方法：把 f 寫在以 p 與 f(p) 為心的局部座標下，讀出最低次冪。

為何重要：分歧覆疊是你「建造」與「比較」黎曼曲面的方式。超橢圓曲線 y^2 =（x 的多項式）是球面的 2 葉分歧覆疊，恰在多項式為零處分歧；每個亞純函數都把它的曲面實現為球面的分歧覆疊；而黎曼-赫爾維茨公式從分歧讀出虧格如何跳變。一個誠實要點：分歧是複解析的現象，沒有這麼乾淨的實版本對應——局部模型 z -> z^e 除了單一捏點外恰好是 e 對 1，而定向使繞圈方向明確無歧義。