亞純函數（meromorphic function）
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全純函數是黃金標準——複可微，沒有意外。但你真正關心的許多函數會在孤立點爆掉：1/z 在 z = 0 爆炸，tan z 在 cos 為零處爆炸。亞純函數正是允許恰好這種受控爆掉的自然更大的類：除了孤立點處有極點外處處全純，且壞處不能更糟。
精確地說，在黎曼曲面 X 上，亞純函數是一個映射 f: X -> C 並上 {infinity}（黎曼球面），它在一個離散點集之外全純，而在這些點處各有一個極點——意思是在這樣的點 p 附近，於局部座標 z（z(p) = 0）下，f 形如 g(z)/z^k，其中 g 全純且 g(0) 非零，k 為某正整數（極點的階）。等價地，1/f 全純且在 p 處為零。關鍵在於：壞點是孤立的，且奇異性僅為極點型：不允許本性奇點（如 e^(1/z)），也不允許分歧點。把 f 看作通往球面的映射時，極點不過是被送往無窮遠的點，因此亞純函數「就是」一個全純映射 X -> 黎曼球面。
為何重要：在「緊」黎曼曲面上，這是決定性的概念。通往平面的非常數全純函數並不存在（緊曲面上的整體全純函數依最大模原理必為常數），所以有趣的函數恰好是亞純函數——而它們構成一個完全編碼該曲面的域。在黎曼球面上，亞純函數恰好就是有理函數 p(z)/q(z)。一個誠實的提醒：「亞純」嚴格地比「全純」弱；它允許極點但禁止本性奇點，因此 e^(1/z) 在 0 附近既非全純也非亞純。
附於格 L 的魏爾斯特拉斯函數 wp(z) 在環面 C/L 上是亞純的：它除了在每個格點處有一個二階極點（在環面本身上即一個極點）外都全純，在 0 附近表現如 1/z^2。它與其導數一起生成該環面上「全部」亞純函數，而這些恰好就是 wp 與 wp' 的有理函數。
魏爾斯特拉斯 wp 函數：在環面上亞純、只有一個二階極點，生成整個函數域。
一般而言，亞純並不等於「帶溫和奇異性的全純」——它只專門允許極點。本性奇點（e^(1/z)）與分歧點被排除；帶本性奇點的函數在該處不是亞純的。