亞純函數域（field of meromorphic functions）
在緊黎曼曲面上，你做不出有趣的通往 C 的普通函數——唯一的就是常數。所以該曲面所有的代數生命都活在它的「亞純」函數裡：那些被允許在有限多個點爆掉的函數。把它們全部收集起來，你得到的不只是一個集合，而是一個「域」——你可以對它們做加、減、乘、除（在極點之外）——而這一個代數對象竟然完整地記住了該曲面。
精確地說，對緊黎曼曲面 X，令 M(X) 表示 X 上所有亞純函數所成的集合。亞純函數的和、積、（非零）商仍亞純，常數 C 作為子域坐落其中，且 M(X) 是包含 C 的一個域。深刻的事實是：M(X) 在 C 上的超越次數恰為 1（故它是相當於單變量自由度的域），它是有限生成的，而——這就是重點——它是 C(z)（單變量有理函數）的有限擴張。黎曼球面給出 M = C(z) 本身；環面 C/L 給出 C(wp, wp')，兩個生成元由三次關係 (wp')^2 = 4 wp^3 - g_2 wp - g_3 綁在一起。
為何重要：這是從分析通往代數的橋樑。函子 X -> M(X) 是一部完美的辭典——兩個緊黎曼曲面同構，恰當其函數域在 C 上同構，而「每一個」在 C 上有限生成、超越次數為 1 的域都這樣出現。這就是為何「緊黎曼曲面」與「C 上的光滑射影代數曲線」是同一事物的兩個名字。一個誠實的微妙處：這個等價是在曲面與作為 C 上「抽象」域的該域之間；選取一個生成元（一個亞純函數）等於選取一個通往球面的分歧覆疊映射，而不同的生成元給出同一個域的不同表現。
對函數域為 C(x, y)、其中 y^2 = x^3 - x 的橢圓曲線／環面，元素 x 是通往球面的 2 次映射（x 的每個值對應兩個 y，即兩個平方根），故 C(x, y) 是 C(x) 的 2 次擴張。從域恢復曲面，等於從中讀出這個分歧覆疊及其分歧之處。
y^2 = x^3 - x 使 C(x,y) 成為 C(x) 的 2 次擴張：該曲面是球面的 2 葉覆疊。
這部辭典是在緊黎曼曲面與 C 上有限生成、超越次數為 1 的域之間。非緊曲面（如圓盤或平面）的函數域大得多且不那麼剛硬，「不」被這個代數等價所捕捉。