函數域（function field）
在一個簇上你會想要相除函數，但像 1/x 這樣的商在分母為零之處沒有定義。函數域就是「無論如何都允許這種商」所得到的東西，並接受每個商只在一個薄的壞集之外有定義。它是你能從正則函數造出的最大分式域，並捕捉了簇中「在容許低維雜亂的意義下」所倖存的一切——恰恰是雙有理資訊。
設 X 為不可約仿射簇，故其座標環 k[X] 是整環。函數域 k(X) 是 k[X] 的分式域：元素是比值 f/g，其中 f, g 屬於 k[X] 且 g 非零函數，兩個比值在交叉相乘相符時相等。這樣的元素是 X 上的有理函數；它在「某個代表元的分母不為零」的每一點上是正則的（真正有定義），而其定義域是一個稠密開集。對不可約射影簇，用任一仿射圖卡以同樣方式定義 k(X)——結果與圖卡無關。k(X) 在 k 上的超越次數等於 X 的維數，這是維數最乾淨的定義之一。
函數域是雙有理幾何的居所：兩個不可約簇雙有理等價，恰好在它們的函數域作為 k 代數同構時，故 k(X) 是完全的雙有理不變量。它不單獨看見簇的點，也不局部看見其奇異點——那些在你允許有理函數時便失去了——但它看見維數、有理映射域，以及簇是否有理（k(X) 純超越）。提醒：有理函數並非整個 X 上的函數；它有一個真正的定義域，而忘記分母為零的軌跡會導致錯誤結論，尤其在複合可能在你想要之處無定義的有理映射時。
對於座標環為 k[x] 的仿射直線 A^1，函數域是 k(x)，即所有多項式之比 p(x)/q(x)。元素 1/(x-1) 是一個處處正則、唯獨在 x = 1 處例外的有理函數；其定義域是開集 A^1 去掉 {1}。
函數域允許相除；每個有理函數僅在一個稠密開集上正則，而非處處。
函數域是雙有理而非雙正則不變量：雙有理等價的簇（如光滑曲線與它的爆破）可以共有同一函數域，卻在有限多個點或奇異點上相異。