支配態射（dominant morphism）
當你把一個簇映到另一個之中時，像可能稠密地填滿目標，也可能落在一個薄片之內。支配態射是其像稠密的態射——它在本質上鋪展遍整個目標，而非塌縮到一個更小的子簇。平面到直線的投影，把 (x, y) 送到 x，是支配的；把一切送到單一點的常值映射，則離支配最遠。
設 f: X -> Y 為不可約簇之間的態射。若其像 f(X) 在札里斯基拓樸下於 Y 中稠密，等價地若像的閉包就是整個 Y，則 f 為支配。其代數翻譯乾淨而有用：f 為支配恰好在座標環上誘導的 k 代數同態 f*: k[Y] -> k[X] 為單射時，而這又延拓為函數域的包含 k(Y) -> k(X)。故支配態射恰恰是「不殺死目標上任何非零函數」的態射。這使函數域以正確的方式成為函子，也正是為何支配映射（而非任意映射）才是與雙有理幾何相關的態射；雙有理映射就是誘導函數域同構的支配映射。對不可約簇的支配態射，有 dim X 至少為 dim Y，且一般纖維的維數為 dim X 減 dim Y。
支配性是「透過函數域比較簇」的條件，並支撐整個雙有理觀點，域擴張 k(Y) 含於 k(X) 編碼了映射的幾何。兩個誠實的提醒。支配關乎像的稠密，而非滿射：支配態射的像不必是整個 Y，只須稠密，它總包含一個稠密開集（謝瓦萊），但可能漏掉一個薄閉片——例如映射 A^1 -> A^1 由 t -> t 是平凡滿射，但 A^2 -> A^2 由 (x, y) -> (x, xy) 是支配的，卻漏掉 x = 0 而 y 不為 0 的點。且纖維維數的陳述是關於一般纖維的；特殊纖維的維數可以躍升，正如同一例子在 x = 0 上所示。
映射 f: A^2 -> A^2 由 (x, y) -> (x, xy) 是支配的：f* 把座標函數送到 x 與 xy，是 k[u, v] 到 k[x, y] 的單射，故像稠密。然而 f 並非滿射——其像漏掉每個 c 不為 0 的點 (0, c)，因為 x = 0 逼使 xy = 0。有稠密而無滿射。
支配意味著像稠密，這嚴格弱於滿射；像總包含一個稠密開集，卻可能漏掉一個薄閉片。
支配是像的稠密，而非滿射。由謝瓦萊，像是可構造集且包含一個稠密開集，但可能不是整個 Y；而 dim X >= dim Y 是一般纖維的陳述，特殊纖維可以躍升。