雙有理映射（birational map）
兩個簇可以「除了一塊你被允許忽略的薄補丁外都相同」。雙有理映射正是這種「近乎同構」的精確概念：一個可逆的對應，在每一邊的低維壞集之外有定義且為雙射。平面在一點的爆破與平面本身是雙有理的——它們處處相符，唯獨在那一點之上，爆破已用一整條直線取代了它。
不可約簇之間的有理映射 f: X --> Y 由有理函數給出；它只須在一個稠密開子集上有定義。若其像稠密，則為支配（dominant）。雙有理映射是一個有理映射 f: X --> Y，它容許一個有理逆 g: Y --> X，使得 f 與 g 的複合、g 與 f 的複合在兩邊皆有定義之處都等於恆等。等價地（這是乾淨的刻畫），X 與 Y 雙有理恰好在它們的函數域 k(X) 與 k(Y) 作為 k 代數同構時。雙有理映射限制成兩個稠密開子集 U（在 X 中）與 V（在 Y 中）之間真正的同構；X 與 Y 的差別集中在互補的閉集上，而這些閉集維數嚴格更小。
雙有理分類是代數幾何的核心綱領之一——把簇分類到雙有理等價，遠比分類到同構粗糙得多、也好處理得多，而奇異點解消與極小模型綱領就住在這裡。若一個簇與射影空間雙有理，則稱為有理的，意即 k(X) 在 k 上純超越。誠實的提醒：雙有理的簇作為簇是真正不同的。它們共有維數與函數域，但可以在奇異點、超出雙有理不變量的上同調、甚至「是否光滑」上相異——故「雙有理」絕不可升級為「同構」。
映射 P^1 --> 結點三次曲線 y^2 = x^2(x + 1)，把 t 送到 (t^2 - 1, t(t^2 - 1))，是雙有理的：它在結點之外是同構，而在結點處兩個值 t = 1 與 t = -1 都映到原點。故這條奇異三次曲線是有理的——與直線雙有理——儘管它並不與直線同構。
雙有理等於在稠密開集上同構；差別藏在低維集合上，此處是單一結點。
雙有理不等於同構。兩個簇只在稠密開子集上相符，在那些子集之外可以在奇異點、光滑性與更精細的上同調上真正相異。