爆破（blow-up）

想像你站在一條曲線自我相交之處，想把兩條分支拉開以便分別看清它們。爆破正是這麼做：它把單一點換成過該點的所有方向（一整個切線的射影空間），分離了在該點糾纏在一起的東西。它是解消奇異點的基本手術——把一個被掐緊或自我相交的簇變成光滑的，而不改變其餘任何地方。

仿射空間 A^n 在原點的爆破是簇 Bl_0 A^n = { (x, [l]) 屬於 A^n x P^{n-1} : x 落在直線 l 上 }，連同回到 A^n 的投影 pi。在原點之外 pi 是同構，因為非零點唯一決定其方向；但原點之上的整條纖維是 P^{n-1} 的一份拷貝，即例外除子 E，記錄了過 0 的每個方向。要在某點爆破一個簇 X，取 X 在原點之外的部分在 Bl_0 A^n 內的閉包；這給出 X 的嚴格變換。它對奇異曲線的效果是依切線方向分離各分支：結點的兩條分支有相異切線，故一次爆破即可解消，因為兩分支落在 E 的不同點上。

爆破是奇異點解消的引擎：廣中平祐定理說，在特徵零的域上，任何簇都能透過沿光滑中心的有限次爆破變得光滑；它們也是雙有理幾何的基本工具，因為爆破總是雙有理態射（在稠密開集上是同構）。值得記清的提醒。爆破確實改變簇：它是雙有理而非同構，且會升高某些上同調、降低自相交數。並非每個奇異點都能一步解消——尖點的兩條分支共享一個切線方向，需不止一次爆破——而在正特徵中解消遠更微妙，且僅在低維近期才被建立。