雅可比判別法（Jacobian criterion）
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你如何透過計算判斷簇的某點是光滑的、還是奇異的角落？雅可比判別法給出一個一按即知的檢測：寫下定義方程的偏導數矩陣，代入該點，檢查其秩。若秩達到它所能達到的最大值——簇的餘維數——則該點光滑；若秩下降，則該點奇異。它把關於光滑性的幾何問題化為一段線性代數。
設 X = V(f_1, ..., f_r) 為 A^n 中的簇，並設在點 p 處其維數為 d，故期望餘維數為 n - d。作出雅可比矩陣 J(p) = (partial f_i / partial x_j) 在 p 處取值，是個 r 乘 n 矩陣。判別法：p 為 X 的光滑（非奇異）點恰好在 J(p) 的秩等於 n - d 時。等價地，札里斯基切空間（即 J(p) 的核）恰好維數為 d。當秩滿時，隱函數定理的類比適用，X 在局部看起來像仿射 d 空間；當秩降到 n - d 以下時核太大，p 是奇異點。對 A^n 中的超曲面 V(f)，檢測尤其簡單：p 為奇異恰好在 f(p) = 0 且所有偏導 partial f / partial x_j 同時在 p 處為零時。
這是定位奇異點、計算何處需要爆破、以及在例子與證明中驗證光滑性的主力。兩個誠實的提醒。第一，在特徵 p 中判別法需謹慎：導數可能因純代數理由而為零（x^p 的導數是零），故天真的「偏導為零」檢測可能錯誤地標記或漏掉奇異點，必須採用相對於基底的正確光滑性概念。第二，你必須先知道或算出維數 d，且必須使用一組生成完整根理想的方程——使用非生成或非約化的方程會得到秩會說謊的雅可比，謊報根本不存在的奇異點。
對於 A^2 中的尖點三次曲線 f = y^2 - x^3，偏導為 (-3x^2, 2y)。它們唯一同時為零之處是 (0,0)，且該處 f 也為零，故唯一的奇異點是原點處的尖點；其餘處秩為 1 = n - d = 2 - 1，故曲線光滑。
對超曲面而言，奇異 = 函數與其所有偏導同時為零。
唯有手握生成根理想的方程與正確的維數時才應用此判別法；且在正特徵中，偏導為零不再可靠地意味奇異，因為 p 次冪的導數恆為零。