射影簇（projective variety）

兩條平行線在普通平面上永不相交，但若你站在鐵軌上，它們看似在地平線上某點會合。射影空間就是「加入那些地平線上的點」的嚴格版本：它用無窮遠點把仿射空間補全，使得例如任兩條相異直線恰好交於一點。射影簇就是棲身於這個補全後、更對稱空間中的多項式零點軌跡——而正是這種補全使交截理論變得乾淨（貝祖定理把每個交點都算進去，包括無窮遠處的）。

k 上的射影 n 空間 P^n 是 k^{n+1} 中過原點的直線所成的集合：一個點是非零 (n+1) 元組的等價類 [a_0 : a_1 : ... : a_n]，其中兩個元組若相差一個非零純量倍便視為同一。普通多項式 f 在此並不給出良定義的函數，因為把所有座標縮放 lambda 會以不可預測的方式縮放 f。補救之道是使用齊次多項式，其中每一項都有相同的總次數 d：此時 f(lambda a) = lambda^d f(a)，故條件 f = 0 與所選代表元無關。射影簇就是一組齊次多項式 S 的公共零點軌跡 V(S)；若它不是兩個嚴格更小此類軌跡的聯集，則為不可約。

為何要費這個事？緊緻性與完備性。在 C 上，射影簇在通常拓樸下是緊的，故函數與上同調表現良好，且困擾仿射幾何的「解逃逸到無窮遠」現象消失。P^n 由 n+1 個仿射圖卡覆蓋的標準作法（令某一座標為 1）顯示射影簇是局部仿射的，故所有仿射機器都可轉移過來。一個提醒：不可約射影簇上唯一的整體正則函數只有常數——豐富的結構棲身於齊次座標環、有理函數與線叢，而非真正的函數。