札里斯基拓樸（Zariski topology）
/ zuh-RISS-kee /
拓樸不過是一條規定「哪些集合算閉集」的規則。代數幾何中的自然規則是：一個集合恰好在它是某些多項式的公共零點軌跡時為閉。這就是札里斯基拓樸。它故意很粗——閉集非常少——因為它唯一能看見的形狀就是多項式能截出的那些。在一條直線上，唯一的真閉集是有限多個點所成的集合，因為單變數多項式只有有限多個根。
形式上，在仿射空間 A^n 上，閉集恰好就是代數集 V(S)，且可驗證公理：A^n 與空集為閉（V(0) 與 V(1)），任意多個代數集的交為代數集，有限聯集亦為代數集（V(I) 聯 V(J) = V(IJ)）。開集是其補集。一組開集基由特異開集 D(f) = { p : f(p) 不為 0 } 給出，即單一多項式非零之處。同樣的作法在任何簇上（子空間拓樸）以及更抽象地在任何交換環的譜上，都定義出札里斯基拓樸。
若你期待札里斯基拓樸像度量拓樸那樣行事，它會很怪。它幾乎從不是豪斯多夫的：在不可約簇上任兩個非空開集都相交，故相異的點無法用不交開集分開。非空開集很大且稠密；閉集很薄。這種粗糙是特色而非缺陷——它把不可約性、泛點與維數變成乾淨的拓樸概念，且它是唯一純代數的拓樸，定義時不涉及域的任何度量或解析結構。提醒：札里斯基意義下的連續性遠弱於普通連續性，而此處的緊性（擬緊）並不蘊含豪斯多夫性。
在無限域上的仿射直線 A^1 上，閉集恰好是所有有限子集連同整條直線。於是開集「{0} 的補集」就是除原點外的一切——巨大，且它與每個其他非空開集都相交，這正是 A^1 在此拓樸下不是豪斯多夫的原因。
閉 = 由多項式截出。因為多項式的零點很少，閉集很薄而開集稠密。
A^2 上的札里斯基拓樸並非兩個因子 A^1 上札里斯基拓樸的乘積：對角線 x = y 在 A^2 中是札里斯基閉的，但在乘積拓樸中卻不閉，這是一個標準陷阱。