正則函數與有理函數（regular and rational functions）

簇上住著兩種函數，差別在於是否允許相除。正則函數是局部上由真正的多項式給出的——沒有分母，在其開塊上處處有定義，行為像個光滑的量。有理函數則允許分母，故它可能在簇的大部分上是完美的函數，卻在一個薄閉集上爆掉或變得無定義。正則之於有理，猶如多項式之於分式。

把它局部化。簇 X 的開集 U 上的函數 f 在點 p 處正則，若在 p 附近它能寫成環繞空間上正則函數之比 g/h，且 h(p) 不為零；在仿射簇上，整體正則函數恰好就是座標環 k[X] 的元素。有理函數是序對 (U, f) 的等價類，其中 f 在稠密開集 U 上正則，兩序對在重疊處相符時視為同一；這些構成函數域 k(X)。關鍵的微妙之處在定義域：一個有理函數可能有數種 g/h 的表示，而只要其中任一個在 p 處分母不為零，它就在 p 處算正則，這能挽救單一公式看似禁止的點。

這兩個概念合起來精確界定了簇上「函數」之所指，並支撐態射與有理映射。經典的驚奇：在光滑射影曲線上，局部圖景黏合得如此之好，以致一個在每點都正則的有理函數必為常數，更一般地，任何不可約射影簇上唯一的正則函數只有常數。提醒：切勿從單一公式讀出有理函數的定義域。函數 (x^2 - y^2)/(x - y) 在 x = y 上看似無定義，但在兩者皆有定義之處皆等於 x + y，故能跨越那條直線正則地延拓——那表面的奇異性只是所選代表元的假象。