黎曼-赫爾維茨公式（Riemann-Hurwitz formula）
/ REE-mahn HOOR-vits /
如果你把一個曲面以分歧覆疊的方式罩在另一個之上，它們的洞數如何相關？樸素地想，把球面 d 重覆疊應給出歐拉示性數為 d 倍的曲面——但在分歧點處把葉片捏在一起是要付代價的。黎曼-赫爾維茨公式正是這精確的記帳：它說覆疊的虧格由底空間的虧格、次數，以及每個分歧點處付出的精確罰金所決定。
精確地說，設 f: X -> Y 是緊黎曼曲面之間的 d 次分歧覆疊，虧格分別為 g_X 與 g_Y。對 X 中每點 p 令 e_p 為其分歧指數（無分歧處 e_p = 1）。則 2 g_X - 2 = d (2 g_Y - 2) + sum over p of (e_p - 1)。以歐拉示性數的形式即 chi(X) = d chi(Y) - sum over p of (e_p - 1)：d 重覆疊本應把 chi 乘以 d，而每個指數 e_p 的分歧點扣去 (e_p - 1)，因為有那麼多葉片被黏成一片。由於只有有限多點分歧，此和為有限。數 R = sum over p of (e_p - 1) 是總分歧。
為何重要：這是計算虧格的主力。給定一條以分歧覆疊呈現的曲線——譬如球面上的 y^2 = f(x)——你讀出分歧資料，虧格便立刻得出，無需三角剖分。它也強制了結構性事實：非常數映射只能「降低」或保持虧格（你無法把球面映成環面），並限制可能的分歧點數目。誠實提醒：公式需要 X 與 Y 為緊；分歧項計的是 (e_p - 1)，「不」是 e_p；在每個分歧點上方，你必須計入「每一個」分歧的原像，因為一個值之上可能有好幾葉同時分歧。
對 y^2 = (x - a_1)...(x - a_6)，通往 x 球面的映射次數為 2，在六個根 a_i 上方分歧（各 e = 2，無窮遠處因次數為偶故不分歧），故 R = 6。黎曼-赫爾維茨給出 2 g_X - 2 = 2(2*0 - 2) + 6 = 2，於是 g_X = 2——一個虧格 2 的曲面。
在 6 點上方分歧的球面 2 重覆疊虧格為 2：2g - 2 = 2(-2) + 6。
分歧項是 sum of (e_p - 1)，而非 sum of e_p，且 X、Y 必須為緊。無窮遠處要小心：對 y^2 =（n 次多項式），無窮遠點分歧當且僅當 n 為奇，這會改變 R 進而改變虧格。